[笔记][数分]数列的极限3

$\sqrt[n]{n}\to 1$

证明着个极限的一种方法是

平均值不等式

n个数的几何平均值$\le$代数平均值$\rightarrow$基本不等式

基本不等式最大的优点在于，它把乘法运算转化成了加法运算

要想使用极限的定义计算前提是知道a

要用极限的性质计算极限

1.$设a_n \in R ,n=1,2,\cdots \ 如果\exists \ M \in R ,s.t.$

$|a_n|\le M,\forall n=1,2,\cdots$

$则称\{a_n\}有界$

2.存在一个以原点为心，R为半径的邻域，使得$\{a_n\}$中的每一项都落在这个邻域内

==邻域必须是开区间==

$设a_n \in \R,n=1,2,3,\cdots \ 如果$

$a_n\le a_{n+1},\forall n=1,2,\cdots$

$则称\{a_n\}单调增$

$如果 a_n<a_{n+1}，则称\{a_n\}严格单调增$

$单调减、严格单调减同理$

$设n_k\in N^*,k=1,2,\cdots,若\{n_k\}严格单调递减，称\{a_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}为\{a_m\}_{m=1}^{\infty}的子列$

$如果a_n\to 0,n\to +\infty ,称\{a_n\}为无穷小量$

$设a_n\in \R,n=1,2,\cdots如果a_n\to a \in \R,a_n\to b \in \R,则a=b$

$如果a_n\to a\in \R,则\{a_n\}有界$

$设\{a_{nk}\}^{\infty}_{k=1}为\{a_n\}_{n=1}^{\infty}的子列$

$如果a_n\to a,n\to +\infty$

$则a_{nk}\to a,k\to+\infty$

$设a_n\le b_n\le c_n,n=1,2,\cdots$

$如果a_n,c_n\to a,n\to \infty$

$则 b_n\to a,n\to \infty$

$设a_n,b_n\in \R ,n=1,2,\cdots,a_n\to a,b_n\to b$

$则当n \to \infty$

(i)$\alpha a_n\to \alpha a,其中 \alpha\in \R$

(ii)$a_n+b_n\to a+b$

(iii)$a_nb_n\to ab$

(iv)$如果b\neq 0,则\frac{a_n}{b_n}\to \frac{a}{b}$

$设a_n \to a,b_n\to b$

$如果a_n\le b_n,\forall n=1,2,3,\cdots$

$则a\le b$